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メモ書き・備忘録

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#dreadtcg マリガンの重要性をちゃんと計算して考える・計算編

こっちを見ておくと理解が深まるかもしれないし全然参考にならないかもしれないし同じ話するかもしれない
50枚デッキの場合の確率的なメモ
50枚デッキの場合の確率的なメモⅡ

「マリガン甘えてS二枚しか抱えられないのにS引けないのを事故って言うのもどうなんだろうな」みたいな話を見かけまして、
まあそうだよな、と思いつつ自分も割りとS抱える枚数二枚だよなーってことでプレイングを見なおそうってことになりました。
でも練習するのめんどいからデッキ触るより先に確率的にはどこまで甘えていいのか考えようぜ! って話です。

ただし大真面目に計算すると非常に計算が長くなって面倒なので適当なところでざっくりと場合分けを放棄して計算します。
わざわざ初手にS7枚引いた時とか計算したくないですしね。
参考程度にどうぞ。計算ミスとか理論的にミスってる所がない保証はないです。

確率的に正しい行動をわかったうえでゲームするのは強くなるのに必須だと思ってるんですが、わかってたって強くなれるわけじゃないの鬱になりそうですね。誰か強い人センスとレシピくれ。

以下本題。

今回マジで本気で長い上に僕以外に対してわかりやすく書けなかったので追記にします。計算過程見たい人だけ見てください。
っていうか僕も見返したくないです。
リンクで飛んできた人は過程に興味ないなら読むのここまででいいです。
結果の記事はこちら


・考えるうえでの前提のデッキモデル
S16枚 M14枚 コード20枚
内訳は多分みんな大体こんなもんだろって内訳です。深い理由はない。

ここで補足しておきますが、HPやバーストの不確定情報はデッキの中に入ってると見て計算してもランダムに除外して考えても計算結果は同じになるはずので、計算が楽な前者の方法を取ります。
前の記事の時散々文句言われたので。

・状況の仮定
スピードバーンは発生せず、二回とも先行を取る
1ターン目にSユニットが1枚死亡、これを2ターン目のドローまでに引いてこられるかを考える
それ以外のことはめんどくさいのでひとまず考えない



・マリガンをS2枚M2枚抱えて終了する場合の計算
マリガンをS2枚、M2枚を抱え、それ以外のコードを可能な限り切る場合を考えます。
また、余剰分は全て切り捨てます。

初手7枚にS2枚、M2枚がちょうど含まれる確率は12%です。
また余剰が出る確率は大体30%です。

余剰30%のうち、16%ではSが3枚以上存在します。これを「目的達成」とします(後述)
残り14%ではMの余剰のため、これを考慮します。
余剰したMをいちいち場合分けしていてはキリがないので以下のパターン分けを行います。
・Mが1枚余り……10%
・2枚余り……3枚以上余りを合算し、4%

これらの場合、それぞれ余り枚数をマリガンすることになります。
14枚余りからの1~2マリガンでSが引ける場合、「目的達成」とします。
それぞれ、3.2%、2%、合計5.2%で「目的達成」です。
残りは「続行」とします。8.8%です。


また残りの58%では不足します。

不足する場合、何枚マリガンするのかを考えます。

7枚ドローの場合、
・Sが不足するがMが足りる確率が58%中22%
・Mが不足するがSが足りる確率が58%中30%
・両方不足する確率が58%中4%

四捨五入したりざっくり計算したりしてるため58%に合致してませんが、大体こういう内訳になります。
この時更に
・Sのみ不足パターンでS0枚が22%中4.7%
・Sのみ不足パターンでS1枚が22%中17.4%

・Mのみ不足パターンで、M0枚が30%中7.6%
・Mのみ不足パターンで、M1枚が30%中23.2%

・両方不足パターンは場合分けするにも確率低すぎるので、共に1枚だったってことで計算します。

これらの5パターンに別れます。また、これらのパターンにおいて、両方不足、もしくは不足カードが0枚の場合5枚マリガン、不足カードを1枚引いている場合は4枚マリガンとなります。

これらを考えたうえで、それぞれマリガン後の手札をパターン分けします。
何枚ドローしたかの後の確率は「そのパターンに到達した後、さらにn%でこの確率」と言う意味です。
例えばS不足S0パターンでは、7枚引いた瞬間に4.7%の確率を踏んでいて、更に5枚マリガン後26%の確率で3枚以上ドローすることになります。
つまり3枚以上ドローする確率は確率の乗算、4.7%*26%=1.2% この確率は、デッキをシャッフルした瞬間、1.2%の確率でマリガン後にSが3枚以上かつMが2枚以上であることを示します。

更にこれを、「目的達成」「事故」「続行」の3パターンに区分けします。
「目的達成」では、Sが3枚以上存在し、かつMが2枚以上存在するパターンです。つまり2ターン目に3枚めのSをキャスト可能な手札になります。
「暫定事故」では、SかMのどちらかが2枚以下です。この場合、スピードと先行1ドローで解決するかを計算します。解決しなかった場合、このプレイング方針での事故として、確率を合算します。解決した場合、2ターン目を考慮します。
「続行」では、スピードと先行1ドロー、2ターン目を計算します。

・S不足S0パターン(4.7%)
デッキ残り43、S残り16、マリガン5枚
3枚以上ドロー……26% →目的達成(+1.2%)
2枚ドロー……36%→続行(1.6%)
1枚以下(事故)……37%→暫定事故(1.7%)

・S不足S1パターン(17.4%)
デッキ残り43、S残り15、マリガン4枚
2枚以上ドロー……43%→目的達成(+8%)
1枚ドロー……40%→続行(7%)
0枚ドロー……16%→暫定事故(2.5%)


・M不足M0パターン(7.6%)
デッキ残り43、M残り14、マリガン5枚
2枚以上ドロー……53%→続行(4%)
1枚以下……47%→暫定事故(3.6%)

・M不足M1パターン(23.2%)
デッキ残り43、M残り13、マリガン4枚
1枚以上ドロー……78%→続行(18%)
0枚……22%→暫定事故(5%)

・両方1枚不足パターン(4%)
デッキ残り43、M残り13、S残り15 マリガン5枚
S2枚以上、M1枚以上ドロー……45%→目的達成(+2%)
残りはめんどくさいので全て事故扱いにします→事故(2%)


これで全ての計算が出揃いました。100%中、1ターン目が終わった時の内訳は
・目的達成 32..4%
・続行(デッキ残り43)12%
・続行(デッキ残り41~42)8.8%
・続行(デッキ残り38)5.6%
・続行(デッキ残り39)25%
・事故14.8%

合計98.6%、計算誤差で合計が100%になりませんが、以上の通りになります。

・結論1
1ターン目開始時、ドロー前の段階で、32.4%の確率でSは2ターン目まで不足しない。
51.4%の確率で、S2枚とM2枚以上がハンドにある。
14.8%の確率で、ゴッドドローしなければSかMが不足する。


これを元に、51.4%の内訳を拾っていきます。
51.4%の内訳では全てデッキに残りのSが14枚存在します。
先行環境において、スピードカードで捲れたSは恐らくは活用できるため、スピードカードを利用することを考え、ここからドローとスピードカードを含め合計で4枚ドロー(厳密にはドローではありませんが、扱いとしては)することが出来ます。
この中にSが1枚でも含まれる場合、目的達成です。

・続行(デッキ残り43)12%
9.6%で目的達成
2.4%でゴッドドローへ

・続行(デッキ残り41~42)8.8% 計算が手間なので、纏めて41枚とします。許して!
7.2%で目的達成
1.6%でゴッドドローへ

・続行(デッキ残り38)5.6%
4.7%で目的達成
0.9%でゴッドドローへ

・続行(デッキ残り39)25%
→21%で目的達成
4%でゴッドドローへ

ここまでを考慮すると、

・ドローのみで目的達成 53.65%
・スピードカードにSが含まれ達成21.25%
・ゴッドドロー(デッキ残り39)2.4%
・ゴッドドロー(デッキ残り38)1.6%
・ゴッドドロー(デッキ残り34)0.9%
・ゴッドドロー(デッキ残り35)4%
・事故14.8%(解決するかは未計算)


更にゴッドドローを1枚まで考慮し、これを準達成とします。
ゴッドドロー合計8.9%ですが、これらのデッキ枚数でのゴッドドロー成功率は約35~40%なので、ざっくりと3.3%ではゴッドドロー込で成功します。つまり

・ドローのみで目的達成 53.65%
・スピードカードにSが含まれ達成21.25%
・2ターン目にSが不足し、ゴッドドロー1枚で解決3.3%
・2ターン目にSが不足し、ゴッドドロー1枚で解決せず失敗5.6%
・事故14.8%(解決するかは未計算)


となります。


ここから事故の計算に入ります。
14.8%の内訳は初手7枚引いた時点で

・計算がめんどくさいので解決しなかったとする事故……2%

・デッキ枚数38、S不足1~2……1.7%
・デッキ枚数39、S不足1……2.5%

・デッキ枚数38、M不足1~2……3.6%
・デッキ枚数39、M不足1……5%


S不足グループから考えます。

デッキ枚数38、S不足1~2……1.7%
→S1枚不足1.6% S0枚0.1% 0.1%は確率的に小さすぎるため、計算上事故扱いとします
1.6%が1ターン目2枚ドローで解決する確率は64%、うち15%で目的達成
0.8%で残り2枚ドロー、0.2%で目的達成、0.6%で事故
0.8%中、63%で目的達成 37%でゴッドドローですが計算上事故扱いとします
0.5%で目的達成、0.3%でゴッドドローへ
合計し、0.7%で目的達成 0.7%で事故 0.3%でゴッドドローへ、ゴッドドロー成功率は約35%なので0.1%でゴッドドロー成功
0.7%で目的達成 0.7%で1ターン目までに事故 ゴッドドロー1枚で解決が0.1% 2ターン目事故が0.2%

デッキ枚数39、S不足1……2.5%
1ターン目2枚ドローでの目的達成が14%(0.35%) 2ターン目行きが48%(1.2%) 事故が37%(0.95%)
1.2%のうち、62%で目的達成(0.75%) ゴッドドロー行きが0.45 0.15%でゴッドドロー成功
合計し、1.1%で目的達成 0.95%で1ターン目事故 ゴッドドロー1枚で解決が0.15% 2ターン目事故が0.3%


デッキ枚数38、M不足1~2……3.6%
1ターン目にMを引く場合、スピードカードの場合は先行を取れず不利になる可能性があるため純粋なドローで引けた場合のみ計算します
M0枚でありどうやっても解決しないのは1%
M1枚の2.6%のうち、ドロー率は34%のため、0.9%で2ターン目まで考慮 1.7%で事故
0.9%の場合、16枚引いてM2枚ちょうどの内訳のため、48枚から14枚引いてSが3枚以上である確率との乗算
93%で引けているため、0.8%で目的達成 残り0.1%でゴッドドロー 
0.8%で目的達成、2.7%で事故、0.1%で2ターン目ゴッドドロー


・デッキ枚数39、M不足1……5%
Mを1枚ドローする率は33%なので、1.65%で2ターン目考慮 3.35%で事故
1.65%の場合、15枚引いてM2枚ちょうどの内訳のため、48枚から13枚引いてSが3枚以上である確率との乗算
90%で引けているため、1.485%で目的達成 0.165でゴッドドロー
1.485%で目的達成、3.35%で事故、0.165%でゴッドドロー

Mパターンのうち、Sを2ターン目ゴッドドローで引ける確率は約35%なので、0.265%中、0.1%ほどでゴッドドロー成功

上記Sパターン、Mパターンを合算して
4.085%で目的達成 7.65%で事故 ゴッドドロー1枚で2ターン目に解決が0.35% 2ターン目事故が0.665%
合計が足りてませんが計算誤差です


・目的達成 79%
・2ターン目にSが不足し、ゴッドドロー1枚で解決3.65%
・2ターン目にSが不足し、ゴッドドロー1枚で解決せず失敗6.3%
・1ターン目事故 7.65%

が結論になります。

ぶっちゃけどこでどう計算ミスがあるかわからないんで許してください。
計算誤差はそれなりにあります。
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